QM-M3-L4 Covariance vs Correlation: Công thức, ý nghĩa và giới hạn

💡 Bài học số 4 Module 3: Xem lại Lesson 3: Skewness & Kurtosis hoặc luyện tập đề tổng hợp tại Practice Quiz Module 3.

1. Hiệp Phương Sai (Covariance)

Hiệp phương sai đo lường mức độ đồng biến động giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y:

• Hiệp phương sai tổng thể: Cov(X, Y) = σ_XY = Σ_i=1^N (X_i - μ_X)(Y_i - μ_Y) / N

• Hiệp phương sai mẫu: s_XY = Σ_i=1ⁿ (X_i - X̄)(Y_i - Ȳ) / (n - 1)

Nhược điểm của Covariance: Đơn vị đo lường của Covariance là tích của hai đơn vị đo (%²), phụ thuộc vào thang đo của dữ liệu nên không thể dùng để so sánh trực tiếp độ mạnh yếu của mối liên kết giữa các cặp tài sản khác nhau.

2. Hệ Số Tương Quan (Correlation Coefficient)

Hệ số tương quan chuẩn hóa hiệp phương sai bằng cách chia cho tích của hai độ lệch chuẩn:

r_XY = s_XY / (s_X × s_Y) (hoặc ρ_XY = σ_XY / (σ_X × σ_Y))

Tính chất của r_XY:

• Miền giá trị: -1.0 ≤ r_XY ≤ +1.0.

• r_XY = +1.0: Tương quan đồng biến tuyến tính hoàn hảo.

• r_XY = -1.0: Tương quan nghịch biến tuyến tính hoàn hảo (cơ sở tạo danh mục phi rủi ro).

• r_XY = 0: Không có mối liên hệ tuyến tính.

3. Worked Example Tính Covariance Và Correlation (Tự Biên Soạn)

Số liệu tỷ suất sinh lời của Cổ phiếu X và Cổ phiếu Y qua 4 năm:

• Năm 1: X₁ = 4.0%, Y₁ = 6.0%

• Năm 2: X₂ = 8.0%, Y₂ = 10.0%

• Năm 3: X₃ = 12.0%, Y₃ = 12.0%

• Năm 4: X₄ = 16.0%, Y₄ = 20.0%

Các bước tính toán:

1. Trung bình mẫu: X̄ = (4 + 8 + 12 + 16)/4 = 10.0%; Ȳ = (6 + 10 + 12 + 20)/4 = 12.0%.

2. Tích độ lệch (Cross-products):

• Năm 1: (4 - 10)(6 - 12) = (-6)(-6) = +36.0

• Năm 2: (8 - 10)(10 - 12) = (-2)(-2) = +4.0

• Năm 3: (12 - 10)(12 - 12) = (2)(0) = 0.0

• Năm 4: (16 - 10)(20 - 12) = (6)(8) = +48.0

• Tổng tích độ lệch = 36 + 4 + 0 + 48 = 88.0.

3. Hiệp phương sai mẫu: s_XY = 88.0 / (4 - 1) = 88.0 / 3 = 29.3333 (%²).

4. Độ lệch chuẩn mẫu: s_X = √[ (36 + 4 + 4 + 36)/3 ] = √[80/3] = 5.1640%; s_Y = √[ (36 + 4 + 0 + 64)/3 ] = √[104/3] = 5.8878%.

5. Hệ số tương quan mẫu: r_XY = 29.3333 / (5.1640 × 5.8878) = 29.3333 / 30.4046 = +0.9648 ≈ +0.96 (Tương quan đồng biến rất mạnh).

4. Các Giới Hạn Trọng Yếu Của Hệ Số Tương Quan (Limitations)

1. Chỉ đo lường quan hệ tuyến tính: Nếu Y = X² (mối quan hệ phi tuyến hoàn hảo), hệ số tương quan r có thể xấp xỉ bằng 0.

2. Tương quan không suy ra quan hệ nhân quả: Hai biến có r cao không đồng nghĩa biến này gây ra biến kia.

3. Nhạy cảm với Outliers: Một điểm dữ liệu ngoại lai duy nhất có thể làm thay đổi hoàn toàn giá trị của r từ dương sang âm.

4. Tương quan giả mạo (Spurious correlation): Xuất hiện do trùng hợp ngẫu nhiên hoặc do cả hai biến cùng chịu tác động từ một biến số thứ ba.