QM-M3-L1 Mean, Median, Mode, Quantiles và Outliers

💡 Bài học số 1 Module 3: Xem tổng quan toàn bộ module tại Module 3 Hub.

1. Các Thước Đo Xu Hướng Tập Trung (Measures of Central Tendency)

• Trung bình cộng (Arithmetic Mean): Tổng tất cả các giá trị chia cho số lượng quan sát: X̄ = Σ X_i / n. Thước đo này sử dụng toàn bộ thông tin trong mẫu nhưng rất nhạy cảm với các giá trị ngoại lai (Outliers).

• Trung vị (Median): Giá trị nằm chính giữa khi tập dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Nếu n lẻ, Median là giá trị tại vị trí (n+1)/2. Nếu n chẵn, Median là trung bình cộng của 2 giá trị nằm giữa tại vị trí n/2 và (n/2)+1. Median không bị ảnh hưởng bởi Outliers cực đoan.

• Yếu vị (Mode): Giá trị xuất hiện với tần suất nhiều nhất trong tập dữ liệu. Một tập dữ liệu có thể có 1 Mode (Unimodal), 2 Mode (Bimodal), nhiều Mode (Multimodal) hoặc không có Mode nào.

2. Phương Pháp Xử Lý Ngoại Lai (Handling Outliers: Trimmed vs Winsorized Mean)

Khi tập dữ liệu xuất hiện các giá trị cực đoan làm méo mó trung bình cộng:

• Trimmed Mean (Trung bình cắt tỉa): Loại bỏ hoàn toàn một tỷ lệ phần trăm nhất định (ví dụ 5% hoặc 10%) các quan sát nhỏ nhất và lớn nhất trước khi tính trung bình cộng của các quan sát còn lại.

• Winsorized Mean: Thay thế các quan sát cực đoan ở hai đầu bằng các giá trị cận biên lớn nhất và nhỏ nhất còn lại (không xóa bỏ quan sát khỏi mẫu), sau đó tính trung bình cộng.

3. Các Thước Đo Vị Trí (Measures of Location / Quantiles)

Phân vị (Quantiles) chia tập dữ liệu đã sắp xếp thành các phần bằng nhau:

• Quartiles (Tứ phân vị): Chia thành 4 phần bằng nhau (Q1 = 25%, Q2 = Median = 50%, Q3 = 75%).

• Quintiles (Ngũ phân vị): Chia thành 5 phần (mỗi phần 20%).

• Deciles (Thập phân vị): Chia thành 10 phần (mỗi phần 10%).

• Percentiles (Bách phân vị): Chia thành 100 phần (mỗi phần 1%).

Công thức xác định vị trí phân vị thứ y (y-th percentile): L_y = (n + 1) × (y / 100). Nếu L_y là số nguyên, giá trị phân vị là quan sát tại vị trí L_y. Nếu L_y có phần thập phân, dùng phương pháp nội suy tuyến tính:

P_y = X_d + (L_y - d) × (X_d+1 - X_d) (trong đó d là phần nguyên của L_y).

4. Worked Example Tính Toán Toàn Diện (Tự Biên Soạn)

Một mẫu gồm 10 quan sát tỷ suất sinh lời (%) đã được sắp xếp tăng dần: 4.0, 6.0, 7.0, 8.0, 10.0, 12.0, 14.0, 16.0, 18.0, 35.0 (trong đó 35.0% là một Outlier cực lớn).

• Arithmetic Mean: X̄ = (4 + 6 + 7 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 35) / 10 = 130.0 / 10 = 13.0%.

• Median: n = 10 (chẵn) => Vị trí giữa là 5 và 6 => Median = (10.0 + 12.0) / 2 = 11.0%.

• Trimmed Mean (Cắt tỉa 10% mỗi đầu - loại 1 số nhỏ nhất 4.0 và 1 số lớn nhất 35.0): Còn lại 8 quan sát (6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18) với tổng = 91.0% => Trimmed Mean = 91.0 / 8 = 11.375% ≈ 11.38%.

• Winsorized Mean (Winsorize 10% mỗi đầu - thay 4.0 bằng 6.0, thay 35.0 bằng 18.0): Dãy mới (6, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 18) với tổng = 105.0% => Winsorized Mean = 105.0 / 10 = 10.50%.

• Tứ phân vị thứ 3 (75th Percentile / Q3): L₇₅ = (10 + 1) × (75 / 100) = 11 × 0.75 = 8.25. Quan sát thứ 8 là 16.0%, quan sát thứ 9 là 18.0% => Q3 = 16.0 + 0.25 × (18.0 - 16.0) = 16.0 + 0.50 = 16.50%.