QM-M5-L4 Shortfall Risk và Roy Safety-First Ratio

💡 Bài học số 4 Module 5: Xem lại Lesson 3: Correlation & Diversification hoặc luyện tập tổng hợp tại Practice Quiz Module 5.

1. Định Nghĩa Rủi Ro Sụt Giảm (Shortfall Risk)

Shortfall Risk là xác suất mà tỷ suất sinh lời thực tế của danh mục đầu tư R_p rơi xuống thấp hơn mức lợi suất mục tiêu tối thiểu mà nhà đầu tư hoặc quỹ hưu trí bắt buộc phải đạt được (Target threshold level R_L):

Shortfall Risk = P(R_p < R_L)

2. Tiêu Chuẩn An Toàn Trên Hết Của Roy (Roy's Safety-First Criterion)

Quy tắc Roy's Safety-First phát biểu rằng danh mục tối ưu là danh mục cực tiểu hóa xác suất Shortfall Risk P(R_p < R_L).

Nếu tỷ suất sinh lời tuân theo phân phối chuẩn, số độ lệch chuẩn từ giá trị kỳ vọng đến ngưỡng R_L được tính bằng Safety-First Ratio (SFRatio):

SFRatio = [ E(R_p) - R_L ] / σ_p

Quy tắc lựa chọn: Danh mục nào có SFRatio LỚN NHẤT sẽ có xác suất Shortfall Risk NHỎ NHẤT:

P(R_p < R_L) = N( -SFRatio )

3. Worked Example So Sánh Và Lựa Chọn Danh Mục (Tự Biên Soạn)

Một quỹ đầu tư bảo hiểm có mức tỷ suất sinh lời tối thiểu bắt buộc phải đạt được là R_L = 3.0%/năm. Nhà quản lý đang cân nhắc giữa 3 danh mục đầu tư A, B, C:

• Danh mục A: Lợi suất kỳ vọng E(R_A) = 12.0%, Độ lệch chuẩn σ_A = 18.0%.

• Danh mục B: Lợi suất kỳ vọng E(R_B) = 10.0%, Độ lệch chuẩn σ_B = 12.0%.

• Danh mục C: Lợi suất kỳ vọng E(R_C) = 7.0%, Độ lệch chuẩn σ_C = 6.0%.

Các bước tính toán và ra quyết định:

1. Tính SFRatio cho từng danh mục:

• SFRatio_A = (12.0% - 3.0%) / 18.0% = 9.0% / 18.0% = 0.500.

• SFRatio_B = (10.0% - 3.0%) / 12.0% = 7.0% / 12.0% = 0.5833 ≈ 0.58.

• SFRatio_C = (7.0% - 3.0%) / 6.0% = 4.0% / 6.0% = 0.6667 ≈ 0.67.

2. So sánh và kết luận lựa chọn:

SFRatio_C (0.67) > SFRatio_B (0.58) > SFRatio_A (0.50).

Theo tiêu chuẩn Roy's Safety-First, nhà đầu tư nên lựa chọn Danh mục C vì có tỷ số SFRatio cao nhất, tương ứng với xác suất vi phạm ngưỡng 3.0% là thấp nhất.

3. Ước tính xác suất sụt giảm (Shortfall Probability theo bảng phân phối chuẩn Z-table):

• Danh mục C: P(R_C < 3.0%) = N(-0.67) ≈ 25.14%.

• Danh mục B: P(R_B < 3.0%) = N(-0.58) ≈ 28.10%.

• Danh mục A: P(R_A < 3.0%) = N(-0.50) ≈ 30.85%.

4. Mối Liên Hệ Giữa SFRatio Và Sharpe Ratio

Hệ số Sharpe là một trường hợp đặc biệt của Roy's Safety-First Ratio khi mức ngưỡng tối thiểu R_L được thay thế bằng lãi suất phi rủi ro R_f:

Sharpe Ratio = [ E(R_p) - R_f ] / σ_p

Điểm khác biệt: Sharpe Ratio đo lường phần bù rủi ro trên mỗi đơn vị rủi ro tổng thể, trong khi SFRatio đo lường biên độ an toàn so với một ngưỡng lợi suất mục tiêu bất kỳ do nhà đầu tư tự thiết lập.