QM-M4-L1 Expected Value, Variance và Standard Deviation trong Probability

💡 Bài học số 1 Module 4: Xem tổng quan toàn bộ module tại Module 4 Hub.

1. Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc Và Phân Phối Xác Suất

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được các giá trị x₁, x₂, ..., x_n với xác suất tương ứng P(X = x_i). Hai điều kiện bắt buộc của một hàm xác suất:

1. 0 ≤ P(X = x_i) ≤ 1 với mọi giá trị x_i.

2. Σ_i=1ⁿ P(X = x_i) = 1.0.

2. Giá Trị Kỳ Vọng (Expected Value)

Giá trị kỳ vọng E(X) là trung bình gia quyền xác suất của tất cả các kết cục có thể xảy ra:

E(X) = P(x₁)x₁ + P(x₂)x₂ + ... + P(x_n)x_n = Σ_i=1ⁿ P(x_i)x_i

3. Phương Sai Và Độ Lệch Chuẩn Xác Suất (Variance & Standard Deviation)

Phương sai xác suất đo lường mức độ biến động gia quyền của các giá trị quanh kỳ vọng E(X):

σ²(X) = Σ_i=1ⁿ P(x_i) × [x_i - E(X)]²

Độ lệch chuẩn xác suất: σ(X) = √[σ²(X)].

4. Worked Example Kịch Bản Kinh Tế Vĩ Mô (Tự Biên Soạn)

Một cổ phiếu có tỷ suất sinh lời phụ thuộc vào 3 kịch bản kinh tế:

• Kịch bản 1 (Tăng trưởng bùng nổ - Boom): P(S₁) = 0.30, Lợi suất R₁ = +25.0%.

• Kịch bản 2 (Tăng trưởng bình thường - Normal): P(S₂) = 0.50, Lợi suất R₂ = +10.0%.

• Kịch bản 3 (Suy thoái kinh tế - Recession): P(S₃) = 0.20, Lợi suất R₃ = -15.0%.

Các bước tính toán chi tiết:

1. Tính Expected Return: E(R) = 0.30 × (25.0) + 0.50 × (10.0) + 0.20 × (-15.0) = 7.5 + 5.0 - 3.0 = +9.50%.

2. Tính độ lệch và bình phương độ lệch:

• Kịch bản 1: (25.0 - 9.5)² = (15.5)² = 240.25 (%²)

• Kịch bản 2: (10.0 - 9.5)² = (0.5)² = 0.25 (%²)

• Kịch bản 3: (-15.0 - 9.5)² = (-24.5)² = 600.25 (%²)

3. Tính Phương sai: σ² = 0.30 × (240.25) + 0.50 × (0.25) + 0.20 × (600.25) = 72.075 + 0.125 + 120.05 = 192.25 (%²).

4. Tính Độ lệch chuẩn: σ = √192.25 = 13.8654% ≈ 13.87%.