QM-M4-L2 Probability Tree và Conditional Expectation

💡 Bài học số 2 Module 4: Xem lại Lesson 1: Expected Value & Variance hoặc chuyển tới Module 4 Hub.

1. Xác Suất Có Điều Kiện Và Quy Tắc Nhân (Multiplication Rule)

Xác suất có điều kiện P(A|B) được định nghĩa là xác suất của biến cố A khi đã biết biến cố B xảy ra:

P(A|B) = P(AB) / P(B) với P(B) > 0

Quy tắc nhân xác suất đồng thời (Joint Probability):

P(AB) = P(A|B) × P(B)

2. Quy Tắc Xác Suất Toàn Phần Và Kỳ Vọng Toàn Phần (Total Probability Rule)

Nếu các trạng thái S₁, S₂, ..., S_n là các kịch bản xung khắc từng đôi và vét cạn không gian mẫu (Mutually exclusive and exhaustive events):

• Xác suất toàn phần của A: P(A) = Σ_i=1ⁿ P(A|S_i) × P(S_i)

• Kỳ vọng toán toàn phần của X: E(X) = Σ_i=1ⁿ E(X|S_i) × P(S_i)

3. Kỹ Thuật Dựng Cây Xác Suất (Probability Tree)

Cây xác suất biểu diễn trực quan cấu trúc rẽ nhánh theo thứ tự thời gian của các biến cố:

1. Nút gốc (Root Node): Điểm khởi đầu phân chia các kịch bản vĩ mô giai đoạn 1.

2. Các nhánh giai đoạn 2: Biểu diễn các xác suất có điều kiện tương ứng với từng nhánh giai đoạn 1.

3. Nút lá (Terminal Nodes): Điểm kết thúc của từng kịch bản, xác suất đồng thời bằng tích các xác suất dọc theo đường dẫn.

4. Worked Example Định Giá Cổ Phiếu Bằng Cây Xác Suất (Tự Biên Soạn)

Định giá cổ phiếu của một công ty công nghệ sinh học đang thử nghiệm thuốc mới qua 2 giai đoạn:

• Giai đoạn 1 (Thử nghiệm lâm sàng Phase 3): Xác suất Thành công P(S) = 0.60; Xác suất Thất bại P(F) = 0.40.

• Giai đoạn 2 (Nếu Thử nghiệm Thành công): Cơ quan quản lý Dược phẩm FDA phê duyệt thuốc với P(Approve|Success) = 0.80 => Giá cổ phiếu tăng lên 100.00 USD. Nếu FDA từ chối với P(Reject|Success) = 0.20 => Giá cổ phiếu là 40.00 USD.

• Nếu Thử nghiệm Thất bại: Thuốc bị hủy hoàn toàn => Giá cổ phiếu rơi xuống 15.00 USD (Xác suất 1.00).

Tính toán giá trị cổ phiếu kỳ vọng:

1. Xác suất đồng thời của từng nhánh lá:

• Nhánh 1 (Thành công & Được FDA duyệt): P = 0.60 × 0.80 = 0.48 (Giá = $100.00).

• Nhánh 2 (Thành công & Bị FDA từ chối): P = 0.60 × 0.20 = 0.12 (Giá = $40.00).

• Nhánh 3 (Thử nghiệm Thất bại): P = 0.40 (Giá = $15.00).

• Tổng xác suất các nhánh: 0.48 + 0.12 + 0.40 = 1.00.

2. Kỳ vọng giá có điều kiện nếu Thử nghiệm Thành công:

E(Price|Success) = 0.80 × (100.00) + 0.20 × (40.00) = 80.00 +8.00 = $88.00.

3. Giá cổ phiếu kỳ vọng tổng thể (Total Expected Stock Price):

E(Price) = P(Success) × E(Price|Success) + P(Failure) × E(Price|Failure) = 0.60 × (88.00) + 0.40 × (15.00) = 52.80 +6.00 = $58.80.

• Kiểm tra tính nhất quán qua tổng tích xác suất đồng thời: E(Price) = 0.48 × (100.00) + 0.12 × (40.00) + 0.40 × (15.00) =48.00 + 4.80 +6.00 = $58.80 (Hoàn toàn chính xác).